哥德尔不完备性定理

你好，请问怎么理解哥德尔不完备性定理与自指？

ChatGPT：

哥德尔不完备性定理与自指之间的联系是通过一种叫做“哥德尔编码”的技术来实现的。这个技术允许在数学系统内构建一个能够自我引用的命题。以下是对这两者之间关系的详细解释：

哥德尔不完备性定理有两个主要定理：

第一不完备定理：对于任何足够强的递归可枚举的公理化数学系统，如果这个系统是自洽的（即没有矛盾），那么在这个系统中存在一个命题，它既不能被证明为真，也不能被证明为假。
第二不完备定理：对于任何足够强的递归可枚举的公理化数学系统，如果这个系统是自洽的，那么系统的自洽性不能在系统内被证明。

这些定理表明，任何试图通过形式系统完全描述数学真理的努力都是注定要失败的，因为总会有一些真命题是不可证明的。

自指是指一个命题能够引用或描述自身。这在自然语言中相对容易实现，例如“这句话是假的”就是一个自指的命题。然而，在形式数学系统中，实现自指要复杂得多，需要用到哥德尔编码。

哥德尔编码是一种将数学命题、证明等用自然数编码的方法。通过这种编码，每个命题和证明都可以表示为一个数字。哥德尔通过巧妙的构造，设计出一个特定的命题，这个命题在系统内实际上是在说“我在这个系统内不可被证明”。这种构造实现了形式系统中的自指。

哥德尔的具体构造过程大致如下：

编码命题和证明：首先，定义一种方法，将数学命题和证明都编码为自然数。
构造特定的命题：构造一个特定的命题 GGG，它表示“这个命题在这个系统内不可被证明”。
分析 GGG 的性质：如果 GGG 能够被证明为真，那么系统就会出现矛盾，因为 GGG 声明它自身不可被证明。如果 GGG 不能被证明为真，那么 GGG 就是系统中无法被证明的真命题。

通过这种自指的命题，哥德尔证明了第一不完备定理。

哥德尔不完备性定理的核心在于通过一种自指结构展示出在任何足够强的数学系统中，总存在无法被系统内部证明或证伪的命题。自指的实现通过哥德尔编码，使得系统内的命题能够引用或描述自身，从而构造出既不可证明也不可证伪的命题。这一巧妙的构造揭示了形式系统的内在局限性。

你

这个自指悖论还有哪些类似的吗

Copilot：

正在为你生成答案…

自指悖论是由于自我指涉（self-reference）而导致的悖论。除了罗素悖论，还有一些其他类似的自指悖论，让我们一起探讨一下：

说谎者悖论：这是一种经典的自指悖论。一个人说：“我现在正在说谎。”如果这句话是真的，那么他确实在说谎；但如果这句话是假的，那么他实际上正在说真话。这种循环性导致了悖论。
明信片悖论：一张明信片的正面写着“本明信片背面的那句话是真的”，反面写着“本明信片背面的那句话是假的”。这种间接循环式的自指也导致了悖论。
艾舍尔的画作：荷兰艺术家艾舍尔创作了一些具有自指性的画作，如《画手》和《无限升降梯》。这些画作中的图像形成了循环，让人感到迷惑和矛盾。
哥德尔不完备定理：数学家哥德尔证明了在任何足够强大的形式系统中，总存在无法被该系统内的公式证明或否定的命题。这种自指性揭示了系统的局限性。

这些悖论都涉及到自我指涉，展示了逻辑和语义中的深刻问题。虽然我们尚未找到完全解决这些悖论的方法，但它们激发了人们对逻辑、语言和认知的思考。

说谎者悖论

来源古希腊说谎者悖论：这句话是谎话。

只给「不给自己理发的人」理发的理发师可以给自己理发吗？为什么？
——罗素，哲学家，数学家

罗素悖论的大体意思是这样的：构造一个集合 S，S 由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：S 是否属于 S 呢？

根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果 S 属于 S，根据 S 的定义，S 就不属于 S；反之，如果 S 不属于 S，同样根据定义，S 就属于 S。无论如何都是矛盾的。

由于目前还不能保证在 ZFC 系统中永远不会出现悖论，所以从这个意义上来讲，第三次数学危机到现在还没有得到彻底解决，甚至可以说，我们还处在第三次数学危机中

相对的两面镜子或者像 OBS 那样的直播录屏软件的预览，也就是无限嵌套这种画面，和上面这个问题有关联吗？

《GEB》，《我是个怪圈》等等
跳出系统视角模拟
摄像头对着屏幕
录屏软件

这个问题和时间有关系吗？为什么？

还真是
镜像/映射/反思，还真是时间/运动的产物

黑格尔：密涅瓦 (Minerva)的猫头鹰只在黄昏时飞行
说明反思是需要时间的，智慧的产生同理，那灵魂呢？

每个悖论都指向当时的人们还没触摸到的，相对而言更接近真理的部分。

于我而言，说谎者悖论，理发师悖论即罗素悖论，哥德尔不完备性定理，都指向同一个地方。

如同《GEB》中艾舍尔的画作所揭示的，自指作为一种逻辑上永远存在的 BUG，给所有形式系统蒙上了阴影。

《GEB》，即《哥德尔，艾舍尔，巴赫》p 428(商务印书馆 2020.7) 禅宗认识到了自身的局限，正如数学家们逐渐也认识到了公理化方法作为获得真理的方法其局限所在。这并不意味着禅宗对自身之外有什么东西有个确切的答案。数学家们不清楚在形式化推理之外还有什么有效的推理形式，禅宗也强不了多少。

无限的“势”，是某种“时间”吗？

这里我有限的认知只能看到，悖论在自指的过程中隐藏了时间这个隐变量。涉及到无限的集合的单位，势，是否也能理解为一种与时间相关的单位，只是暂时还不清楚其中的相关性。